парадоксально ГОЙДАЛКИ

"Парадоксальні гойдалки" на колесах не тільки наочний посібник до курсу механіки, а й цікава іграшка.

Рис.1. Рух візки під час першого напівперіоду хитання маятника.

Рис.2. Залежність швидкості маятника з візком від кута відхилення маятника (а) і графік зміни швидкості самого візка (б).

<

>

Увага гостей Всесвітнього інтелектуального фестивалю "Науково-технічний прогрес - поколінню XXI століття" незмінно привертав цікавий екіпаж, привезений співробітниками Політехнічного музею (див. "Наука і життя" № 9, 1998 г.). Це були гойдалки, змонтовані на чотириколісною візку. Розгойдуючись, пасажир призводить екіпаж в рух, і він ривками, але досить швидко рухається в одну сторону - або вперед, або назад.

У чому ж справа? Адже на перший погляд його поведінку порушує закони механіки: в замкнутій системі центр мас повинен залишатися на місці, а візок, отже, - тільки здійснювати коливання вперед - назад біля точки рівноваги. Проте екіпаж рухається без порушення законів збереження, показуючи, що і добре знайома механіка може підносити сюрпризи.

Екіпаж, який і зараз демонструється в відділі ігрової техніки "ІГРОТЕХ" Політехнічного музею, не що інше, як маятник на рухомому підставі. Як фізичного приладу він може стати хорошим посібником при вивченні основ механіки: законів перетворення енергії і збереження імпульсу. А у вигляді гойдалок на колесах він дає можливість, слідуючи повчанням Горація - "з'єднуй приємне з корисним", - поєднати науку з розвагою.

Найцікавіший в такому екіпажі парадоксальний характер його переміщення. Рушійний імпульс, на перший погляд, відсутня, зчеплення коліс з дорогою - теж. Екіпаж являє собою замкнуту систему, тобто таку, в якій діють тільки внутрішні сили. Кількість руху, або імпульс (добуток маси на швидкість), такої системи повинно зберігатися незмінним. І які б сили не діяли усередині системи, як би не рухалися окремі її частини, центр мас всієї системи повинен бути нерухомим. Нерухоме знаряддя при пострілі відчуває віддачу і відкочується назад.

При цьому сумарний імпульс системи гармата - снаряд зберігся, залишившись рівним нулю: (MV) знаряддя = - (MV) снаряда. Знак мінус показує, що вони рухаються в різні боки. Перебігаючи з носа човна на її корму і назад, ми помічаємо, що човен кожен раз зсувається в протилежному напрямку, а центр мас залишається на місці. Загальна кількість руху системи можуть змінити тільки зовнішні сили. Саме тому Мюнхгаузен, як би він не тягнув себе за косичку, з місця не зрушиться. Витягнути його з болота зможе тільки хтось сторонній.

Все це робить не зовсім зрозумілим: чому ж все-таки екіпаж рухається нехай зі змінним прискоренням, але в одному напрямку. Таке його поведінку можна легко пояснити, розглянувши уважно самий початок руху, яке має невелику, але дуже важливу особливість.

У перший момент часу візок не просто нерухома. Її або тримають, або вона впирається однією парою коліс в перешкоду. Дитина починає розгойдуватися, відштовхнувшись від землі або від рами візка, яка з землею жорстко пов'язана. При першому ж помаху гойдалок система набуває потенційну енергію, пропорційну висоті їх підйому. Ось і пояснення поведінки екіпажу: на нього все-таки подіяли сторонні сили, що змінили імпульс. Саме енергія, отримана сідоком, змушує екіпаж рухатися вперед.

Але все сказане справедливо лише при повній відсутності тертя. В реальності ж, звичайно, коливання через тертя загасають і маятник разом з візком рано чи пізно замруть в нерухомості. Якщо сили тертя в осях візки більше, ніж в підвісі маятника, то ще до зупинки вантажу маятника поступальний рух візка поступово перейде в коливання щодо загального центру мас. При зворотній залежності спочатку припинить хитатися маятник, а візок деякий час ще буде рухатися равнозамедленно. Маятник під час руху буде відхилений на невеликий кут.

Схожим чином потрапляють будь-які маси, пов'язані пружною взаємодією і отримали ззовні деякий початковий імпульс. Це можуть бути і дві кулі, з'єднані пружиною, і дві молекули в хімічній сполуці, і ланцюжок атомів в кристалі. Так що навіть просто штовхнувши рукою предмет, ми, по суті, змушуємо його рухатися як описаний вище маятнику. Ніяких коливань при цьому зауважити, звичайно, не можна: надто велика їх частота.

Повернемося до гойдалок на колесах. Може здатися, що вершник, розгойдуючи гойдалки, може забезпечити безперервний рух екіпажу. Однак це, звичайно, помилка. Енергія вершника на гойдалках буде витрачатися на подолання тертя, збільшення амплітуди розгойдування, але не змінить загального імпульсу системи. Мюнхгаузен не зможе вибратися з болота ні смикаючи себе за волосся, ні підскакуючи в сідлі.

На закінчення відзначимо, що старт екіпажу може бути проведений трьома способами:

1. Візок тримають. Сідок починає розгойдуватися, і візок відпускають.

2. Візок не тримають. Сідок починає розгойдуватися, відштовхнувшись від землі.

3. Візок не тримають. Сідок починає розгойдуватися, відштовхнувшись від рами.

Перший спосіб детально розібраний в замітці.

Пропонуємо читачам подумати, як поведе себе екіпаж в інших випадках.

Подробиці для допитливих

Розберемо особливості руху екіпажу з гойдалками докладніше. Строго кажучи, опис вільних коливань замкнутої механічної системи на кшталт таких гойдалок - завдання досить складна, яка потребує вирішення системи диференціальних рівнянь, заданих в неявному вигляді. Але зрозуміти принцип дії законів збереження можна і з простого графічного аналізу послідовних фаз такого руху.

Математичний маятник масою М 1 і довжиною (радіусом гойдання) R змонтований на візку масою М 2 = М 1. Візок може переміщатися в горизонтальній площині без тертя. У положенні рівноваги центри мас маятника і візки розташовані на одній вертикалі. На систему діє тільки сила тяжіння G, яка перпендикулярна горизонтальній площині і тому не впливає на імпульс візки. Якщо відхилити маятник до горизонтального положення і відпустити його, вантаж маятника і візок почнуть коливатися в протифазі відносно центру мас, який, відповідно до закону збереження імпульсу, буде залишатися на місці.

Однак можна змусити систему рухатися і по-іншому. Початок такого руху показано на рис. 1, а повний цикл представлений на схемі залежності швидкості і зміщення маятника з візком від кута його відхилення (рис. 2а) і на графіку швидкості руху візка (рис. 2б).

Введемо позначення: V т - швидкість руху візка, V про - швидкість маятника щодо візки, V а - абсолютна швидкість маятника відносно Землі і розглянемо докладно динаміку такого руху. Нехай візок встановлена ​​на горизонтальній площині і впирається однією парою коліс в нерухому перешкоду. Відхилимо маятник в сторону упору, повідомивши йому потенційну енергію W п1, і відпустимо (положення I). Поки маятник опускається, візок залишається нерухомою, так як через реакцію нитки F1 вага маятника притискає колеса візка до упору (рис. 1а).

Після того як маятник пройде положення рівноваги (рис. 1б) зі швидкістю V ат (положення II), потенційна енергія вантажу перейде в кінетичну W к1 = W п1, і реакція нитки F 1 почне прискорювати візок (рис. 1в). Коли вантаж маятника займе найвище, вкрай праве, положення і його відносна швидкість V про впаде до нуля (положення III), кінетична енергія маятника проте рівною нулю не стане. Це пояснюється тим, що маятник рухається разом з візком і його абсолютна швидкість V a дорівнює сумі відносної швидкості маятника V про та швидкості руху візка: V a = V про + V т. Так як в даній точці V о = 0, то V a = V т, тому кінетичні енергії маятника і візки стануть однаковими і рівними W к2. Але маятник буде мати запас додаткової потенційної енергії W п2. Співвідношення між ними визначається законом збереження енергії:

W к1 = W п1 і 2 (W к2 + W п2) = W п1

.

Якщо зупинити маятник в точці найвищого підйому, вся система відповідно до закону збереження імпульсу далі буде рухатися з постійною горизонтальною швидкістю V 2 = V aо / 2. Але так як маятник опускається, візок продовжує прискорюватися під дією сили F1, спрямованої по руху візка. Потенційна енергія маятника продовжує переходити в кінетичну енергію візки.

Коли маятник опуститься до точки рівноваги, його абсолютна швидкість звернеться в нуль (положення IV), а візок придбає швидкість V т = V ат. Її кінетична енергія стане дорівнює потенційної енергії спочатку піднятого маятника. На цьому процес обміну енергіями не закінчиться: маятник почне підніматися, відхиляючись вліво, і реакція натягу нитки F 1 почне гальмувати візок.

При максимальне відхилення вліво (положення V) відносна швидкість маятника знову дорівнює нулю, а абсолютна дорівнює швидкості руху візка. Співвідношення енергій в системі повністю аналогічно вкрай правому положенню маятника. Опускаючись з крайнього лівого положення, маятник продовжує гальмувати візок і, прийшовши в стан рівноваги з абсолютною швидкістю V ат, її зупинить (положення VI). Далі весь цикл, починаючи з другої фази, повторюється. Швидкість руху візка при цьому змінюється за законом синуса (рис. 2б).

Із законів збереження імпульсу і енергії неважко знайти залежність швидкостей маятника щодо візки і самого візка від кута відхилення маятника:

де V т - швидкість візка; V o - швидкість маятника щодо візки; V ат - початкова швидкість маятника в момент початку руху системи; G - прискорення сили тяжіння; R - радіус хитання маятника; a -кут відхилення маятника від вертикальної осі. Висновок цих рівнянь надається зробити самим читачам.